Probabilidade e Estatística na Escola

Fazer uma pesquisa, do começo

Estatística na escola costuma começar errado: pelo gráfico. O gráfico é o fim do processo. Começa-se por uma pergunta que valha a pena responder com dados.

As etapas

1. Pergunta: o que queremos saber? ("Quanto tempo de tela os alunos desta escola usam por dia?")
2. População e amostra: de quem falamos, e quem vamos conseguir ouvir.
3. Instrumento: o que exatamente se pergunta, e com quais opções de resposta.
4. Coleta: registro organizado, com data.
5. Organização: tabela de frequência.
6. Representação: o gráfico adequado ao tipo de dado.
7. Conclusão: o que os dados permitem — e o que não permitem — afirmar.

O passo 7 é o que falta em quase toda atividade escolar de estatística. Sem ele, a turma produz um gráfico bonito e não responde a pergunta inicial.

População e amostra

População é o conjunto todo sobre o qual se quer concluir; amostra é a parte que se observa. A amostra precisa ser representativa, e tamanho não substitui representatividade: dez mil respostas colhidas só entre seguidores de um perfil dizem muito sobre aquele perfil e pouco sobre a população.

Esse é o conceito de viés, e vale dar exemplos escolares: perguntar sobre merenda só na fila da cantina, perguntar sobre esporte só no time, fazer formulário online numa comunidade sem internet em casa.

Tipos de variável

O tipo de variável decide o gráfico e a medida que fazem sentido. Calcular a média de "cor preferida" não significa nada, ainda que o computador aceite se as cores forem numeradas.

Escrever um bom questionário

• Uma pergunta por item, sem "e" no meio.
• Opções que não se sobrepõem e cobrem todos os casos.
• Sem pergunta que já sugere a resposta ("você não concorda que…").
• Com faixas claras quando for quantidade: "de 1 a 2 horas", "mais de 2 até 4 horas".
• Respeitando o sigilo: pesquisa escolar com dado pessoal não circula com nome, e a divulgação é sempre agregada.

Organizar e representar dados

Cada tipo de gráfico responde a uma pergunta. Escolher errado não é questão estética: muda o que o leitor conclui.

Tabela de frequência

A frequência absoluta é a contagem; a relativa é a parte do total, em fração ou porcentagem. Toda tabela precisa de título, da fonte e do total — a linha de total é o que permite ao leitor conferir.

Qual gráfico usar

O erro mais comum é usar setores onde o total não é um todo — por exemplo, numa pergunta de múltipla escolha em que cada pessoa marcou mais de uma opção. Nesse caso a soma passa de 100% e a pizza fica sem sentido; o certo é barras.

O que todo gráfico precisa ter

• Título que diga o que está representado.
• Eixos nomeados, com a unidade.
• Escala regular, sem pulos.
• Fonte e período dos dados.
• Legenda, quando houver mais de uma série.

Faltando o período, o gráfico pode estar certo e ainda assim induzir a erro — dado de dois anos atrás lido como se fosse de hoje.

Planilha: o caminho mais curto

Qualquer planilha gratuita faz tabela de frequência e gráfico em poucos passos, e isso libera tempo para discutir o que o gráfico diz. Duas funções resolvem o módulo inteiro: CONT.SE (ou CONT.SES), para contar quantas vezes cada categoria aparece, e SOMA, para o total. Vale ensinar a turma a desconfiar do gráfico sugerido automaticamente pelo programa: ele escolhe pela aparência, não pelo tipo de dado.

As medidas de tendência central

Três medidas respondem a "qual é o valor típico?" — e dão respostas diferentes. Saber qual usar é mais importante do que saber calcular as três.

O que é cada uma

Detalhes que caem em prova: a mediana exige ordenar primeiro, e com quantidade par de dados é a média dos dois centrais. A moda pode não existir ou haver mais de uma. E a média pode ser um valor que não existe no conjunto — 2,5 filhos por família.

Quando a média engana

Considere os valores 1, 2, 2, 3 e 50.

• Média: 58 ÷ 5 = 11,6
• Mediana: 2
• Moda: 2

A média de 11,6 não descreve nenhum dos valores: ela foi arrastada pelo 50. Esse é o caso clássico de valor extremo, e é o que acontece com salário. Num grupo de cinco pessoas que ganham R$ 2.000, R$ 2.200, R$ 2.400, R$ 2.500 e R$ 30.000, a média é R$ 7.820 e a mediana é R$ 2.400. É por isso que pesquisa séria sobre renda informa a mediana.

A pergunta para a turma: "qual dos dois números você usaria para dizer quanto se ganha nesse grupo, e por quê?". A resposta certa não é um número — é um argumento.

Dispersão: a medida que falta

Duas turmas com a mesma média 6,0 podem ser completamente diferentes: uma com todas as notas entre 5,5 e 6,5, outra com metade tirando 2 e metade tirando 10. A amplitude (maior valor menos menor valor) é a medida de dispersão mais simples e já mostra isso. Média sem nenhuma informação de dispersão é meia informação.

Média ponderada

Quando os valores têm pesos diferentes, multiplica-se cada um pelo seu peso, soma-se e divide-se pela soma dos pesos. É o que a escola faz na nota final quando a prova vale mais que o trabalho — e vale mostrar o cálculo à turma, porque muita reclamação de nota vem de supor média simples.

O gráfico que engana

Este é o módulo mais útil fora da escola. Gráfico não precisa ter número falso para enganar — basta a escala.

Os truques mais usados

Correlação não é causa

Duas coisas podem crescer juntas sem que uma cause a outra. Venda de sorvete e casos de afogamento sobem no mesmo período — e a causa comum é o calor, não o sorvete. O nome disso é variável oculta, e desconfiar dela é a principal defesa contra manchete apressada.

Três perguntas que resolvem a maioria dos casos: há uma terceira causa possível? A ordem no tempo está certa? Pode ser coincidência numa amostra pequena?

Perguntas para fazer a qualquer dado divulgado

• Quem produziu, e quem pagou pela pesquisa?
• Quantas pessoas foram ouvidas, e como foram escolhidas?
• Qual é a pergunta exata que foi feita?
• Qual é o período dos dados?
• É número absoluto ou porcentagem — e porcentagem de quê?
• A margem de erro foi informada? Diferença dentro da margem não é diferença.

Esse roteiro vale para pesquisa eleitoral, propaganda de produto, número de desempenho escolar e postagem em rede social. É letramento estatístico no sentido literal: ler dado é uma habilidade de leitura.

Ética ao divulgar

Quem apresenta dados também tem obrigações: usar escala honesta, informar a fonte e o período, não omitir o que contraria a conclusão e não divulgar dado individual identificável. Em pesquisa escolar isso tem peso — a turma pode levantar informação sensível sem perceber, e o resultado se publica sempre de forma agregada.

Chance, e o que a intuição erra

Probabilidade é a parte da Matemática em que a intuição falha com mais frequência — e por isso é a que mais precisa de contagem cuidadosa.

O cálculo básico

Num experimento em que todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. O conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral.

A probabilidade vai de 0 (impossível) a 1 (certo), e pode ser escrita em fração, decimal ou porcentagem.

A condição que se esquece: casos igualmente prováveis

Por que duas moedas dão 1/4, e não 1/3? Porque o espaço amostral é cara-cara, cara-coroa, coroa-cara, coroa-coroa — quatro casos. Quem pensa "pode sair 0, 1 ou 2 caras, então é 1/3" esqueceu que "uma cara" acontece de duas maneiras e por isso é mais provável. Com dois dados é o mesmo raciocínio: a soma 7 sai de seis jeitos e a soma 12 de um só, e é por isso que 7 é a soma mais provável.

Esse é também o argumento contra a loteria "dos números bonitos": 1-2-3-4-5-6 tem exatamente a mesma chance de qualquer outra sequência, porque todas as combinações são igualmente prováveis.

A falácia do jogador

Moeda que deu cara cinco vezes seguidas não tem mais chance de dar coroa na sexta: a chance continua 1/2, porque a moeda não tem memória. O mesmo vale para dado, roleta e sorteio com reposição — são eventos independentes. Dizer "esse número está atrasado" é a falácia do jogador, e é a crença que sustenta boa parte do prejuízo com apostas.

Atenção à distinção: quando não há reposição, a chance muda de verdade. Tirar uma bola de uma urna e não devolver altera o total e o espaço amostral da segunda retirada.

Quando a escala desmonta a intuição

Acertar a Mega-Sena com uma aposta simples tem 1 chance em 50.063.860, porque é o número de combinações possíveis de 6 dezenas entre 60. Não é "difícil": é uma escala que a intuição não alcança. Vale fazer a conta com a turma em termos de tempo ou de dinheiro: apostando um jogo por dia, levaria mais de 100 mil anos para cobrir todas as combinações.

Este trecho tem uma função além da Matemática: é prevenção. Aposta é um produto desenhado para que a casa ganhe no longo prazo, e entender probabilidade é a melhor defesa contra a promessa de ganho fácil.

Probabilidade experimental e frequência

Jogar a moeda 10 vezes dificilmente dá 5 caras; jogar 500 vezes aproxima o resultado de 50%. Essa é a lei dos grandes números em versão escolar, e a atividade de acumular os lançamentos de toda a turma num só quadro mostra a aproximação acontecendo. É também o que liga probabilidade a estatística: a frequência observada se aproxima da probabilidade teórica quando há muitas repetições.

Avaliação final

São 15 questões sobre os 5 módulos. Para ser aprovado(a) e poder emitir o certificado, você precisa acertar pelo menos 11. Você pode refazer a prova quantas vezes quiser.

Conclua os 5 módulos para liberar a avaliação.