Grandezas, Medidas e Proporcionalidade

Medir é comparar com uma unidade

Medir não é ler número no aparelho: é comparar a grandeza com uma unidade e contar quantas vezes ela cabe. Quem entende isso resolve conversão sem decorar tabela, e quem não entende decora tabela e erra na primeira situação diferente.

Grandeza, unidade e medida

• Grandeza é o que se mede: comprimento, massa, tempo, capacidade, área, temperatura.
• Unidade é com o que se compara: metro, quilograma, segundo, litro.
• Medida é o resultado: 2,5 metros. E ela só significa algo com a unidade escrita — "a mesa tem 2,5" não informa nada.

Antes das unidades oficiais vêm as unidades não padronizadas: palmo, passo, pé, copo. Elas não são erro pedagógico, são o começo certo — é medindo a sala em passos e descobrindo que cada um achou um número diferente que se entende por que o mundo precisou combinar um metro só.

O Sistema Internacional, em uma tabela

Os prefixos valem para quase todas: quilo é mil vezes, centi é a centésima parte, mili é a milésima. Daí se deduz tudo: 1 km = 1 000 m, 1 cm = 0,01 m, 1 mm = 0,001 m. Note que a unidade de massa é o quilograma, e não o grama — é a única com prefixo no nome.

Estimar antes de medir

Toda medida deve vir com uma expectativa. Quem estima percebe o absurdo: uma pessoa de 1,70 m e não de 17 m, uma sala de 12 m² e não de 1 200 m², uma garrafa de 2 L e não de 2 mL. Vale ter referências de corpo guardadas: o palmo tem perto de 20 cm, o passo largo perto de 1 m de uma pessoa adulta, a largura do dedo indicador cerca de 1,5 cm, e uma garrafa de refrigerante grande tem 2 litros.

Erro de medida existe sempre

Nenhuma medida é exata: ela depende do instrumento, da escala e de quem mede. Uma régua com milímetros não distingue 12,3 de 12,34 cm. Daí três regras práticas: alinhar o zero com a ponta do objeto (e não a borda da régua, que às vezes é anterior ao zero), olhar de frente para o traço — de lado, a leitura muda —, e medir duas vezes antes de cortar.

As grandezas do dia a dia

Aqui estão as conversões que aparecem na vida adulta e os dois lugares em que quase todo mundo escorrega: a vírgula do metro e o relógio, que não é decimal.

Comprimento, massa e capacidade

Em vez de "andar com a vírgula", vale pensar na pergunta: vou para unidade menor ou maior? De m para cm a unidade fica menor, então o número fica maior (3,2 m = 320 cm). De g para kg a unidade fica maior, então o número fica menor (450 g = 0,45 kg). Pensar assim evita o erro de dividir quando era multiplicar.

Uma relação prática útil: 1 litro de água pesa aproximadamente 1 quilo. Vale para a água; não vale para óleo, mel ou farinha, e é por isso que receita em copo e receita em gramas não são a mesma coisa.

Tempo: a grandeza que não é decimal

A causa do erro é tratar o relógio como se fosse decimal. São 60 minutos na hora e 60 segundos no minuto, então meia hora é 0,5 h e também 30 min — e a conversão passa por multiplicar a parte decimal por 60. Para somar durações, o caminho seguro é somar minutos com minutos e horas com horas e depois trocar cada 60 minutos por uma hora: 1 h 40 min + 2 h 35 min = 3 h 75 min = 4 h 15 min.

Temperatura

No Brasil usa-se grau Celsius: a água congela a 0 °C e ferve a 100 °C ao nível do mar. Um detalhe que vale explicar: variação de temperatura e valor de temperatura são coisas diferentes — subir de 20 °C para 22 °C é uma variação de 2 °C, e não um aumento de 10% em sensação nenhuma.

Ler instrumentos

• Trena e régua: conferir se a escala está em cm ou em polegada; as duas convivem na mesma fita em muitos modelos.
• Balança digital: zerar com o recipiente em cima (tara) para pesar só o conteúdo.
• Copo medidor: ler com o copo apoiado e o olho na altura do líquido, não de cima.
• Relógio de ponteiros: ainda cai em prova e ainda se usa; vale praticar.

Medir superfície e espaço

Área e volume são as grandezas em que a conversão de unidade mais engana, porque o número não muda de dez em dez.

Por que 1 m² não é 100 cm²

Um quadrado de 1 m de lado tem 100 cm de cada lado. Logo cabem 100 × 100 = 10 000 cm² dentro dele. No volume é pior: 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³. A regra geral: em área, a conversão vai de 100 em 100; em volume, de 1 000 em 1 000.

Estimar área e volume sem fórmula

Cobrir a figura com quadradinhos de papel quadriculado e contar é o método mais antigo e o que mais ensina. Para figuras irregulares — uma mancha, um mapa de bairro —, conta-se os quadradinhos cheios e se estima os pela metade. É assim que se mede área de terreno de formato esquisito antes de qualquer cálculo.

No volume, o equivalente é encher de cubinhos ou de água. Uma caixa-d'água de 1 m × 1 m × 1 m tem 1 000 litros; a de "500 litros" tem meio metro cúbico.

Medidas de terra, e um aviso

Terreno urbano se mede em metros quadrados; área rural, em hectares. E há as medidas antigas que ainda circulam na linguagem do campo: alqueire, tarefa, braça, litro de terra. O aviso é o mesmo que vale para quem lê documento antigo: não converta alqueire por tabela genérica — o alqueire varia por região e por época, e o paulista e o mineiro não têm o mesmo tamanho. Em escritura, inventário ou compra, use o valor em metros quadrados que consta no documento e no cartório.

Cálculo de obra, do jeito que se usa

Proporcionalidade, e quando ela não vale

Regra de três é a ferramenta mais usada e mais mal usada da Matemática escolar. O problema não é a conta: é aplicá-la em situações que não são proporcionais.

Razão

Razão é a comparação de duas grandezas por divisão. Muita coisa do dia a dia é razão disfarçada:

Comparar razões é o que permite decidir no mercado: o pacote de 1,5 kg a R$ 18 custa R$ 12 por quilo; o de 400 g a R$ 5 custa R$ 12,50 por quilo. O primeiro é mais barato — e essa conta vale mais que qualquer promoção anunciada.

Proporcionalidade direta e inversa

O teste honesto antes de montar a regra de três: se eu dobrar a primeira grandeza, a segunda dobra? Se dobra, é direta. Se cai à metade, é inversa. Se não acontece nem uma coisa nem outra, não é proporcional e a regra de três não serve.

Os casos em que a regra de três dá resposta errada

• Idade: se hoje tenho 40 e meu filho 10, daqui a 10 anos não terei 50 e ele 12,5. A diferença se mantém; a razão, não.
• Área a partir do lado: dobrar o lado do quadrado não dobra a área, quadruplica.
• Tempo de forno: se um bolo assa em 40 minutos, dois bolos não assam em 80.
• Trabalho humano: 1 pintor pinta a casa em 10 dias, mas 10 pintores não pintam em 1 dia, e 100 pintores não pintam em 2,4 horas. O modelo ideal é inversamente proporcional; a realidade tem espaço, ferramenta e organização.
• Consumo com faixas: conta de luz e de água têm tarifa por faixa, então dobrar o consumo não dobra exatamente a conta.

Esse módulo tem uma função que vale explicitar: ensinar a desconfiar da própria regra de três. Em prova de concurso e em decisão real, o erro quase nunca está na conta — está em supor proporcionalidade onde não há.

Montando com cuidado

Um carro faz 12 km com 1 litro. Quantos litros para 480 km? Direta: 480 ÷ 12 = 40 litros. Outro caminho, sem fórmula: "quantos grupos de 12 km há em 480?". Pensar por grupos deixa mais difícil errar a posição dos números, que é a falha típica da regra de três armada no automático.

Escala, porcentagem e leitura de medidas

Este módulo junta as duas aplicações mais frequentes de proporcionalidade — escala e porcentagem — e fecha com as situações em que medir bem evita prejuízo.

Escala

Escala é a razão entre o desenho e a realidade. Em 1:50, cada 1 cm do papel vale 50 cm reais; uma parede de 4 m (400 cm) aparece com 8 cm. Em mapa, 1:100 000 significa que 1 cm equivale a 1 km.

Cuidado com o sentido das palavras: escala "grande" mostra pouca área com muito detalhe (1:50), e escala "pequena" mostra muita área com pouco detalhe (1:1 000 000). É contraintuitivo e cai em prova.

Porcentagem aplicada a medidas

• 10% de perda em piso: 30 m² de área pedem comprar cerca de 33 m².
• Desconto e acréscimo: usar fator multiplicativo — 15% de desconto é multiplicar por 0,85.
• Rendimento: lata que cobre 40 m² por demão, em parede de 100 m², com duas demãos, pede 5 latas.
• Declividade: rampa de 8% sobe 8 cm a cada metro percorrido na horizontal.

Medidas no comércio e no consumo

Comparar preço por unidade de medida é o cálculo de consumo mais rentável que existe, e é exatamente a razão do módulo anterior aplicada ao mercado. Quando a embalagem muda de tamanho e o preço fica igual, é só a razão que denuncia.

O que levar deste curso

• Medida sem unidade não é informação.
• Conversão se resolve pela pergunta "a unidade ficou menor ou maior?".
• Área converte de 100 em 100; volume, de 1 000 em 1 000.
• Tempo não é decimal: a parte depois da vírgula se multiplica por 60.
• Antes da regra de três, pergunte se a situação é proporcional.

Avaliação final

São 12 questões sobre os 5 módulos. Para ser aprovado(a) e poder emitir o certificado, você precisa acertar pelo menos 9. Você pode refazer a prova quantas vezes quiser.

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