Geometria na Educação Básica

Formas, nomes e classificações

Geometria é a parte da Matemática que mais se aprende olhando e mexendo, e a que mais se ensina com desenho parado no quadro. Este módulo organiza os nomes; os próximos mostram o que fazer com eles.

Plano e espaço

Figura plana tem duas dimensões e cabe numa folha: triângulo, quadrado, círculo. Figura espacial, ou sólido geométrico, tem três: cubo, pirâmide, esfera. O erro de nomenclatura mais comum da escola é chamar o cubo de quadrado e a esfera de círculo — vale corrigir sempre, porque é o que separa área de volume depois.

Polígonos

Polígono é figura plana fechada formada só por segmentos de reta. Logo, o círculo não é polígono, e uma figura aberta também não.

Triângulos: duas classificações

E há uma condição que quase nunca se ensina e resolve muita dúvida: para existir triângulo, cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois. Com 2 cm, 3 cm e 9 cm não se fecha triângulo nenhum — dá para testar com canudo e linha em cinco minutos.

Quadriláteros, e a hierarquia que surpreende

• Trapézio: tem um par de lados paralelos.
• Paralelogramo: tem dois pares de lados paralelos.
• Retângulo: paralelogramo com quatro ângulos retos.
• Rombo ou losango: paralelogramo com quatro lados iguais.
• Quadrado: tem as duas coisas — quatro ângulos retos e quatro lados iguais.

Daí segue o que mais incomoda: todo quadrado é retângulo, e todo quadrado é losango, e os três são paralelogramos. Classificação em Matemática é inclusiva, não excludente. Dizer "não é retângulo, é quadrado" é como dizer "não é fruta, é maçã".

Sólidos, planificação e a relação de Euler

Poliedros têm faces planas (cubo, prisma, pirâmide); corpos redondos têm superfície curva (cilindro, cone, esfera). Num poliedro convexo vale a relação de Euler: V − A + F = 2, em que V são vértices, A arestas e F faces. No cubo: 8 − 12 + 6 = 2.

Planificar — recortar e montar o sólido a partir do molde — é a atividade que mais ensina sobre faces e arestas, e também sobre área da superfície. Um cubo tem onze planificações diferentes, e descobrir isso costuma ocupar uma aula inteira com a turma envolvida.

Ângulos, retas e as somas que fecham

Ângulo é abertura, não tamanho. O aluno que acha que o ângulo aumenta quando se prolongam os lados não entendeu o que está sendo medido — e isso é mais comum do que parece.

Tipos e medidas

Dois ângulos são complementares quando somam 90° e suplementares quando somam 180°. É a troca de nome que mais confunde em prova — complementar é o que completa o reto.

As duas somas que resolvem meio exercício

• A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. Não é só do triângulo bonito do livro: vale para o fino e comprido também.
• A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360° — e dá para ver dividindo o quadrilátero em dois triângulos.

A demonstração de recortar os três cantos de um triângulo de papel e juntá-los lado a lado, formando uma linha reta, é das mais convincentes que existem na escola. Faça com triângulos diferentes em cada grupo: o resultado se repete, e isso é o que significa "vale sempre".

Paralelas cortadas por uma transversal

Quando uma reta corta duas paralelas, formam-se oito ângulos, e eles são iguais dois a dois em dois valores apenas. Os pares de nomes: correspondentes e alternos internos são iguais; colaterais internos somam 180°. Em vez de decorar os nomes, vale a dica prática: descubra um ângulo e todos os outros são aquele valor ou o seu suplemento.

Medir com transferidor, sem erro bobo

• O centro do transferidor vai exatamente no vértice.
• Um dos lados do ângulo alinha com o zero — e é a escala desse lado que se lê.
• Se o ângulo é visivelmente agudo e a leitura deu 150°, a escala lida foi a errada. Estimar antes evita isso.

Contorno, superfície e espaço ocupado

Três grandezas diferentes que o aluno mistura porque as três saem das mesmas medidas da figura. A pergunta que separa: contorno, cobertura ou enchimento?

O que é cada uma

Fórmulas que vale ter na mão

No triângulo e no paralelogramo, a altura é perpendicular à base — e não precisa ser vertical nem estar dentro da figura. Em triângulo obtusângulo, a altura relativa a um dos lados cai fora. É um dos erros mais frequentes em prova.

Volumes: cubo é aresta³; qualquer prisma e o cilindro são área da base × altura; pirâmide e cone são área da base × altura ÷ 3.

As três confusões clássicas

• Perímetro maior não significa área maior. Com 20 m de cerca dá para fazer um retângulo 1 × 9, com 9 m² de área, ou um 5 × 5, com 25 m². Mesmo perímetro, quase o triplo de área.
• Dobrar o lado não dobra a área: quadruplica. Um quadrado de 3 cm tem 9 cm²; de 6 cm, tem 36 cm². E num sólido, dobrar a aresta multiplica o volume por 8.
• 1 m² não é 100 cm². É 10 000 cm², porque são 100 cm de cada lado. E 1 m³ é 1 000 000 cm³, que equivalem a 1 000 litros.

Conversões úteis

Mover, refletir e ampliar

Transformação geométrica é o conteúdo que mais rende com material baratíssimo: papel, espelho e dobradura.

As três transformações que preservam a forma

Nas três, lados e ângulos ficam iguais: as figuras são congruentes. Congruente é "mesma forma e mesmo tamanho"; semelhante é "mesma forma, tamanho diferente".

Simetria

Uma figura tem simetria de reflexão quando existe um eixo que a divide em duas partes que se sobrepõem ao dobrar. O quadrado tem 4 eixos; o retângulo não quadrado tem 2 — e muita gente jura que tem 4, incluindo as diagonais. Dobrar o papel resolve a discussão em dez segundos: pela diagonal, o retângulo não fecha. Há também simetria de rotação, quando a figura coincide consigo mesma antes de uma volta completa.

Semelhança e escala

Duas figuras são semelhantes quando os ângulos são iguais e os lados são proporcionais. A razão de semelhança é o número pelo qual se multiplicam os lados. E aqui está a consequência que quase ninguém antecipa:

Ampliar uma foto para o dobro do lado consome quatro vezes mais tinta. Uma miniatura na escala 1:10 de um carro tem 1/1000 do volume — e é por isso que ela é tão leve.

Escala de mapa e planta funciona igual: 1:50 significa que 1 cm no papel é 50 cm na realidade. Em planta de arquitetura, uma parede de 4 m aparece com 8 cm.

Localização e coordenadas

Antes do plano cartesiano vem a linguagem de posição: à direita, à frente, dois quarteirões adiante. Depois, malha quadriculada e par ordenado (x, y) — com a ordem importando: (2, 5) não é (5, 2). Jogo de batalha naval, mapa do bairro e endereço em malha de ruas são os contextos que funcionam.

Pitágoras e a geometria que se constrói

O teorema mais famoso da Matemática é também um dos mais aplicados fora da escola — e um dos mais mal usados, porque as pessoas esquecem a condição que o acompanha.

O teorema, e a condição

Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90° e é sempre o maior lado. A condição está na palavra retângulo: sem o ângulo reto, o teorema não vale.

Onde isso é usado de verdade

• Esquadro de obra: marcar 3 m numa direção, 4 m na outra e conferir se a diagonal dá 5 m. Se der, o canto está em 90°. É o truque mais útil da construção civil, e é Pitágoras ao contrário.
• Diagonal de televisão e de tela: as polegadas anunciadas são a diagonal, não a largura.
• Altura de escada apoiada na parede, comprimento de rampa, caminho mais curto em diagonal pelo terreno.

Um cuidado prático que vale dizer: a diagonal não é a soma dos lados. Atravessar um terreno de 30 m por 40 m na diagonal dá 50 m, e não 70 m — o atalho economiza 20 m.

Construir com régua e compasso

Construções clássicas ensinam propriedade, não só desenho: mediatriz de um segmento (os pontos a igual distância das pontas), bissetriz de um ângulo, triângulo com três medidas dadas, perpendicular por um ponto. Quando o aluno constrói a mediatriz e descobre que todo ponto dela está à mesma distância das duas pontas, a definição deixa de ser decorada.

Geometria dinâmica

Em software de geometria dinâmica, como o GeoGebra, a figura se move e se vê o que se conserva: arraste o vértice do triângulo e a soma dos ângulos continua 180°; mexa no quadrilátero e a soma continua 360°. É a diferença entre ver um exemplo e ver uma propriedade. Vale a regra geral: primeiro o aluno conjectura mexendo, depois a turma tenta justificar. O software mostra que vale; não explica por quê.

Os erros de geometria que mais aparecem em avaliação

• Usar o lado inclinado como altura no paralelogramo ou no triângulo.
• Somar área com perímetro, ou responder com a unidade errada (m em lugar de m²).
• Achar que o quadrado não é retângulo.
• Supor o ângulo reto que o enunciado não deu, para usar Pitágoras.
• Confundir raio com diâmetro na fórmula do círculo.
• Medir com o transferidor pela escala errada.

Avaliação final

São 15 questões sobre os 5 módulos. Para ser aprovado(a) e poder emitir o certificado, você precisa acertar pelo menos 11. Você pode refazer a prova quantas vezes quiser.

Conclua os 5 módulos para liberar a avaliação.